QC - Điều khiển điện toán lượng tử với các toán tử đơn vị, nhiễu và vướng víu

Ảnh của Sagar Dani

Tuyệt quá. Chúng ta vừa hoàn thành Phần 2 trên Qubit (Bit lượng tử - khối xây dựng cốt lõi cho điện toán lượng tử). Vậy làm thế nào chúng ta có thể kiểm soát nó? Không giống như điện toán cổ điển, chúng tôi không áp dụng các phép toán logic hoặc các phép đo thông thường trên các qubit. Không có câu lạc bộ nào trong khi tuyên bố phân nhánh và báo cáo phân nhánh của Google trong điện toán lượng tử. Thay vào đó, chúng tôi phát triển các toán tử đơn vị để thao túng các qubit với nguyên tắc can thiệp vào cơ học lượng tử. Âm thanh lạ mắt nhưng thực sự rất đơn giản. Chúng tôi sẽ xem xét khái niệm về các nhà khai thác đơn nhất. Một lưu ý phụ, chúng tôi sẽ xem xét mối quan hệ của nó với Phương trình Schrodinger để chúng tôi không thiết kế một khái niệm chống lại tự nhiên. Cuối cùng, chúng ta nhìn vào sự vướng víu, một hiện tượng lượng tử huyền bí.

Cổng lượng tử

Trong các máy tính cổ điển, chúng tôi áp dụng các toán tử logic cơ bản (KHÔNG, NAND, XOR, AND, OR) trên các bit để xây dựng các hoạt động phức tạp. Ví dụ, sau đây là một bộ cộng bit đơn với một carry.

Máy tính lượng tử có các toán tử cơ bản hoàn toàn khác nhau được gọi là cổng lượng tử. Chúng tôi không biên dịch lại chương trình C ++ hiện có để chạy trên máy tính lượng tử. Cả hai đều có các toán tử khác nhau và điện toán lượng tử đòi hỏi các thuật toán khác nhau để tận dụng lợi thế của chúng. Trong điện toán lượng tử, tất cả chỉ là thao túng các qubit, vướng víu và đo lường chúng. Chúng ta hãy quay trở lại quả cầu Bloch. Về mặt khái niệm, các hoạt động điện toán lượng tử thao túng Φ và của sự chồng chất để di chuyển các điểm dọc theo bề mặt của khối cầu.

Nói theo toán học, sự chồng chất được thao tác với toán tử tuyến tính U dưới dạng ma trận.

Đối với một qubit đơn, toán tử chỉ đơn giản là ma trận 2 × 2.

Phương trình Schrodinger (tùy chọn)

Tự nhiên có vẻ ngây thơ đơn giản! Toán học chỉ là đại số tuyến tính mà chúng ta học ở trường trung học. Giữa các phép đo, các trạng thái được thao tác bởi các toán tử tuyến tính bằng cách nhân ma trận. Khi đo, sự chồng chất sụp đổ. Trớ trêu thay, tính tuyến tính là một sự thất vọng lớn đối với những người hâm mộ khoa học viễn tưởng. Đây là một tính chất chung của động lực lượng tử. Nếu không, du hành thời gian hoặc du lịch nhanh hơn ánh sáng là tất cả có thể. Nếu chúng ta bắt đầu với toán tử tuyến tính này (chính xác là toán tử đơn vị), chúng ta có thể rút ra phương trình Schrodinger, một nền tảng của cơ học lượng tử trong việc mô tả cách các trạng thái phát triển trong cơ học lượng tử. Từ quan điểm ngược lại, phương trình Schrodinger kết luận tính tuyến tính của tự nhiên.

Nguồn

Ở đây, chúng ta có thể viết lại phương trình Schrodinger như

Trong đó H là một Hermiti. Nó cho thấy các trạng thái được phát triển trong tự nhiên một cách tuyến tính.

Phương trình là tuyến tính, nghĩa là nếu cả 1 và ψ2 là các giải pháp hợp lệ cho phương trình Schrodinger,

kết hợp tuyến tính của nó là giải pháp chung của phương trình.

Nếu | 0⟩ và | 1⟩ là các trạng thái có thể có của một hệ thống, tổ hợp tuyến tính của nó sẽ là trạng thái chung của nó - đó là nguyên tắc chồng chất trong điện toán lượng tử.

Đơn vị

Thế giới vật lý của chúng ta không cho phép tất cả các toán tử tuyến tính có thể. Nhà điều hành phải được thống nhất và đáp ứng các yêu cầu sau đây.

Trong đó U † là liên hợp phức, hoán vị của U. Ví dụ:

Về mặt toán học, toán tử đơn vị bảo toàn định mức. Đây là một tính chất tuyệt vời để giữ tổng xác suất bằng một sau khi chuyển đổi trạng thái và giữ chồng chập trên bề mặt của khối cầu.

Nếu chúng ta xem xét giải pháp cho phương trình Schrodinger dưới đây, tự nhiên tuân theo quy tắc đơn nhất tương tự. H là một Hermiti (liên hợp phức tạp chuyển tiếp của một Hermiti bằng chính nó). Nhân toán tử với liên hợp phức được chuyển đổi của nó bằng ma trận danh tính.

Sau đây là một ví dụ về H trong đó có từ trường E đồng nhất theo hướng z.

Áp dụng hoạt động đơn vị cho | dẫn đến một vòng quay trong trục z.

Nhưng ý nghĩa thực sự của sự đơn nhất trong thế giới thực là gì? Nó có nghĩa là hoạt động có thể đảo ngược. Đối với bất kỳ hoạt động có thể, có một hoạt động khác có thể hoàn tác hành động. Giống như xem một bộ phim, bạn có thể phát nó về phía trước và tự nhiên cho phép đối tác của nó phát video ngược. Thật vậy, bạn có thể không nhận thấy liệu bạn đang phát video tiến hay lùi. Hầu như tất cả các quy luật vật lý là thời gian đảo ngược. Một vài ngoại lệ bao gồm phép đo trong động lực lượng tử và định luật thứ hai của nhiệt động lực học. Khi thiết kế một thuật toán lượng tử, điều này rất quan trọng. Hoạt động OR độc quyền (XOR) trong máy tính cổ điển không thể đảo ngược. Thông tin bị mất. Cho đầu ra là 1, chúng ta không thể phân biệt được đầu vào ban đầu là (0, 1) hay (1, 0).

Trong điện toán lượng tử, chúng ta gọi các toán tử là cổng lượng tử. Khi chúng tôi thiết kế một cổng lượng tử, chúng tôi đảm bảo rằng nó là đơn nhất, tức là sẽ có một cổng lượng tử khác có thể đảo ngược trạng thái trở lại ban đầu. Điều này rất quan trọng vì

nếu một toán tử là đơn nhất, nó có thể được thực hiện trong một máy tính lượng tử.

Một khi sự thống nhất được chứng minh, các kỹ sư không nên có vấn đề để thực hiện nó, ít nhất là về mặt lý thuyết. Ví dụ, các máy tính IBM Q, bao gồm các mạch siêu dẫn, sử dụng các xung vi sóng có tần số khác nhau và thời lượng để kiểm soát các qubit dọc theo bề mặt của quả cầu Bloch.

Để đạt được sự thống nhất, đôi khi chúng tôi xuất một phần đầu vào để đáp ứng yêu cầu này, giống như phần bên dưới thậm chí có vẻ dư thừa.

Chúng ta hãy xem một trong những cổng lượng tử phổ biến nhất, cổng Hadamard mà toán tử tuyến tính được định nghĩa là ma trận sau.

hoặc trong ký hiệu Dirac

Khi chúng ta áp dụng toán tử cho trạng thái quay lên hoặc trạng thái quay xuống, chúng ta thay đổi chồng chập thành:

Nếu được đo, cả hai đều có cơ hội như nhau để quay lên hoặc quay xuống. Nếu chúng ta áp dụng cổng một lần nữa, nó sẽ trở lại trạng thái ban đầu.

Nguồn

tức là, liên hợp hoán vị của Hadamard là cổng Hadamard.

Khi chúng ta áp dụng UU, nó sẽ khôi phục lại đầu vào ban đầu.

Do đó, cổng Hadamard là đơn nhất.

Điện toán lượng tử dựa trên sự can thiệp và vướng víu. Mặc dù chúng ta có thể hiểu về điện toán lượng tử một cách toán học mà không hiểu những hiện tượng này, chúng ta hãy chứng minh điều đó một cách nhanh chóng.

Giao thoa

Sóng giao thoa với nhau một cách xây dựng hoặc phá hủy. Ví dụ, đầu ra có thể được phóng to hoặc làm phẳng tùy thuộc vào pha tương đối của sóng đầu vào.

Vai trò của nhiễu trong điện toán lượng tử là gì? Hãy thực hiện một số thí nghiệm.

Giao thoa kế Mach Zehnder (nguồn)

Trong thí nghiệm đầu tiên, chúng tôi chuẩn bị tất cả các photon trong có trạng thái phân cực | 0⟩. Luồng photon phân cực này được chia đều bởi vị trí bộ tách chùm B ở 45 °, tức là nó sẽ phân tách chùm thành hai đèn phân cực trực giao và thoát ra theo các đường riêng biệt. Sau đó, chúng tôi sử dụng gương để phản xạ các photon tới hai máy dò riêng biệt và đo cường độ. Từ quan điểm của cơ học cổ điển, các photon tách thành hai đường riêng biệt và chạm vào các máy dò một cách đồng đều.

Trong thí nghiệm thứ hai ở trên, chúng tôi đặt một bộ tách chùm khác trước các máy dò. Theo trực giác, các bộ tách chùm hoạt động độc lập với nhau và chia một luồng ánh sáng thành hai nửa. Cả hai máy dò nên phát hiện một nửa chùm sáng. Xác suất của một photon tới máy dò D₀ bằng cách sử dụng đường dẫn 1 màu đỏ là:

Tổng cơ hội để một photon đạt D₀ là 1/2 từ 1 đường dẫn hoặc 0 đường dẫn. Vì vậy, cả hai máy dò phát hiện một nửa số photon.

Nhưng điều đó không phù hợp với kết quả thử nghiệm! Chỉ có D₀ phát hiện ánh sáng. Hãy mô hình hóa quá trình chuyển đổi trạng thái cho bộ tách chùm với cổng Hadamard. Vì vậy, đối với thí nghiệm đầu tiên, trạng thái photon sau bộ tách là

Khi được đo, một nửa trong số chúng sẽ là | 0⟩ và một nửa trong số chúng sẽ là | 1⟩. Các chùm ánh sáng được chia đều thành hai con đường khác nhau. Vì vậy, cổng Hadamard của chúng tôi sẽ phù hợp với tính toán cổ điển. Nhưng hãy xem điều gì đã xảy ra trong thí nghiệm thứ hai. Như được hiển thị trước đây, nếu chúng ta chuẩn bị tất cả các photon đầu vào là | 0⟩ và chuyển chúng vào hai cổng Hadamard, tất cả các photon sẽ lại | 0⟩. Vì vậy, khi nó được đo, chỉ D sẽ phát hiện chùm sáng. Không có gì sẽ đạt đến D₁ miễn là chúng tôi không thực hiện bất kỳ phép đo nào trước cả hai máy dò. Các thí nghiệm xác nhận tính toán lượng tử là chính xác, không phải tính toán cổ điển. Chúng ta hãy xem sự can thiệp đóng vai trò như thế nào ở cổng Hadamard thứ hai.

Như được hiển thị dưới đây, các thành phần của cùng một cơ sở tính toán xây dựng hoặc phá hủy giao thoa với nhau để tạo ra kết quả thử nghiệm chính xác.

Chúng ta có thể chuẩn bị chùm photon đầu vào là | 1⟩ và làm lại phép tính. Trạng thái sau bộ chia đầu tiên khác với trạng thái ban đầu bởi một pha π. Vì vậy, nếu chúng ta đo bây giờ, cả hai thí nghiệm sẽ thực hiện các phép đo giống nhau.

Tuy nhiên, khi áp dụng cổng Hadamard một lần nữa, người ta sẽ tạo ra | 0⟩ và người ta sẽ tạo ra | 1⟩. Sự can thiệp tạo ra các khả năng phức tạp.

Hãy để tôi thực hiện thêm một thử nghiệm thú vị có ý nghĩa rất quan trọng trong an ninh mạng.

Nếu chúng ta đặt một máy dò Dx khác sau bộ tách đầu tiên, thí nghiệm cho thấy cả hai máy dò sẽ phát hiện được một nửa số photon. Điều đó có phù hợp với tính toán trong cơ học lượng tử không? Trong phương trình dưới đây, khi chúng ta thêm một phép đo sau bộ chia đầu tiên, chúng ta buộc một sự sụp đổ trong sự chồng chất. Kết quả cuối cùng sẽ khác với kết quả không có máy dò bổ sung và phù hợp với kết quả thử nghiệm.

Thiên nhiên nói với chúng ta rằng nếu bạn biết photon đi theo con đường nào, cả hai máy dò sẽ phát hiện một nửa số photon. Trên thực tế, chúng ta có thể đạt được điều đó chỉ với một máy dò trong một trong những đường dẫn duy nhất. Nếu không có phép đo nào được thực hiện trước cả hai máy dò, thì tất cả các photon đều kết thúc trong máy dò D₀ nếu photon được chuẩn bị là | 0⟩. Một lần nữa, trực giác dẫn chúng ta đến kết luận sai trong khi các phương trình lượng tử vẫn đáng tin cậy.

Hiện tượng này có một ý nghĩa quan trọng. Phép đo bổ sung sẽ phá hủy nhiễu ban đầu trong ví dụ của chúng tôi. Trạng thái của một hệ thống được thay đổi sau khi đo. Đây là một trong những động lực chính đằng sau mật mã học lượng tử. Bạn có thể thiết kế một thuật toán sao cho nếu tin tặc chặn (đo) tin nhắn giữa bạn và người gửi, bạn có thể phát hiện sự xâm nhập đó bất kể phép đo có thể nhẹ nhàng đến mức nào. Bởi vì mô hình của phép đo sẽ khác nhau nếu nó bị chặn. Định lý không nhân bản trong cơ học lượng tử cho rằng người ta không thể nhân đôi chính xác trạng thái lượng tử. Vì vậy, tin tặc không thể sao chép và gửi lại tin nhắn ban đầu.

Ngoài mô phỏng lượng tử

Nếu bạn là Nhà vật lý, bạn có thể tận dụng hành vi giao thoa trong các cổng lượng tử để mô phỏng sự giao thoa tương tự trong thế giới nguyên tử. Các phương pháp cổ điển làm việc với lý thuyết xác suất với các giá trị lớn hơn hoặc bằng 0. Nó giả định sự độc lập không đúng trong các thí nghiệm.

Cơ chế lượng tử tuyên bố mô hình này là sai và giới thiệu một mô hình với các số phức và âm. Thay vì sử dụng lý thuyết xác suất, nó sử dụng nhiễu để mô hình hóa vấn đề.

Vì vậy, nó mang lại những gì tốt cho người không phải là nhà vật lý? Sự can thiệp có thể được coi là cơ chế giống như một toán tử đơn vị. Nó có thể được thực hiện dễ dàng trong một máy tính lượng tử. Về mặt toán học, toán tử đơn vị là một ma trận. Khi số lượng qubit tăng lên, chúng ta có được sự tăng trưởng theo cấp số nhân của các hệ số mà chúng ta có thể chơi với. Toán tử đơn vị này (sự can thiệp vào mắt của Nhà vật lý) cho phép chúng ta thao tác tất cả các hệ số này trong một thao tác duy nhất mở ra cơ hội cho các thao tác dữ liệu lớn.

Vướng mắc

Nhìn chung, các nhà khoa học tin rằng không có sự vướng víu, các thuật toán lượng tử không thể thể hiện uy quyền cao hơn các thuật toán cổ điển. Thật không may, chúng tôi không hiểu rõ lý do và do đó, chúng tôi không biết cách điều chỉnh thuật toán để tận dụng tiềm năng đầy đủ của nó. Đây là lý do tại sao sự vướng víu thường được đề cập khi giới thiệu điện toán lượng tử nhưng không nhiều sau đó. Vì lý do này, chúng tôi sẽ giải thích những gì vướng mắc trong phần này. Hy vọng rằng bạn là nhà khoa học để phá vỡ bí mật.

Hãy xem xét sự chồng chất của 2 qubit.

trong đó | 10> có nghĩa là hai hạt nằm trong một spin xuống và spin lên tương ứng.

Hãy xem xét trạng thái tổng hợp sau:

Chúng ta có thể chia trạng thái hỗn hợp trở lại thành hai trạng thái riêng lẻ như,

Chúng tôi không thể vì nó yêu cầu:

Cơ học lượng tử thể hiện một khái niệm không trực quan. Trong cơ học cổ điển, chúng tôi tin rằng việc hiểu toàn bộ hệ thống có thể được thực hiện bằng cách hiểu rõ từng thành phần phụ. Nhưng trong cơ học lượng tử,

Như được hiển thị trước đây, chúng ta có thể mô hình hóa trạng thái tổng hợp và đưa ra dự đoán đo lường một cách hoàn hảo.

Nhưng, chúng ta không thể mô tả hoặc hiểu nó như hai thành phần độc lập.

Tôi tưởng tượng kịch bản này là một cặp vợ chồng kết hôn trong 50 năm. Họ sẽ luôn đồng ý về những việc cần làm nhưng bạn không thể tìm thấy câu trả lời khi coi họ là những người riêng biệt. Đây là một kịch bản quá đơn giản. Có nhiều trạng thái vướng víu có thể

và sẽ khó khăn hơn nhiều để mô tả chúng khi số lượng qubit tăng lên. Khi thực hiện các phép toán lượng tử, chúng ta biết các thành phần có tương quan như thế nào (vướng víu). Nhưng trước khi đo lường, các giá trị chính xác vẫn mở. Sự vướng víu tạo ra các mối tương quan phong phú hơn nhiều và có thể khó hơn nhiều cho một thuật toán cổ điển để bắt chước một cách hiệu quả.

Kế tiếp

Bây giờ, chúng ta biết làm thế nào để thao túng qubit với các hoạt động đơn nhất. Nhưng đối với những người quan tâm đến thuật toán lượng tử, chúng ta nên biết giới hạn đầu tiên là gì. Mặt khác, bạn có thể bỏ qua những gì khó khăn trong điện toán lượng tử. Nhưng đối với những người muốn biết thêm về cổng lượng tử trước tiên, bạn có thể đọc bài viết thứ hai trước bài đầu tiên.