Làm thế nào để chúng ta biết rằng tất cả các điện tử là giống hệt nhau? Phần 2

Trong Phần 1, tôi đã nói về nghịch lý Gibbs, một nghịch lý của cơ học thống kê cuối thế kỷ 19 với độ phân giải cho thấy các hạt phải giống hệt nhau và không thể phân biệt được ở một mức độ nào đó. Đây là manh mối đầu tiên và khiến một số người suy nghĩ về vấn đề này - nhưng nó không thực sự là từ cuối cùng.

Trong Phần 2, tôi sẽ hoàn thành phần giải thích của mình về cách các nhà vật lý biết rằng tất cả các hạt cơ bản (như electron) giống hệt nhau bằng cách đào sâu vào cơ học lượng tử, một lĩnh vực vật lý hấp dẫn được phát hiện và phát triển trong 3 thập kỷ đầu tiên của ngày 20 thế kỷ (1900-1930). Bạn hoàn toàn có thể đọc Phần 2 mà không cần đọc Phần 1; mặc dù cả hai đều phải làm với lý do tại sao các hạt giống hệt nhau, cả hai đều khép kín và không phụ thuộc vào nhau. Phần 1 về cơ bản là phần giải thích có thể được hiểu vào khoảng năm 1900, trong khi Phần 2 là phần giải thích theo cách hiểu của năm 1930 - sau khi cơ học lượng tử đã hoàn thành.

Trong cơ học thống kê cổ điển, bạn có thể biểu diễn các khả năng khác nhau cho trạng thái của một hệ thống bằng xác suất. Ví dụ, nếu bạn biết nhiệt độ và áp suất của khí, có một phân phối thống kê (được gọi là hàm mật độ xác suất xác định) của các hạt khác nhau tạo thành khí. Những hạt này đang nảy xung quanh một cách ngẫu nhiên. Ở nhiệt độ cao, bạn có nhiều khả năng tìm thấy một phân tử khí di chuyển nhanh chóng; ở nhiệt độ thấp, bạn có nhiều khả năng tìm thấy một phân tử khí di chuyển chậm. Nhưng một trong hai cách có một loạt các khả năng.

Trong cơ học lượng tử, điều tương tự cũng đúng nhưng nó phức tạp hơn một chút. Hàm mật độ xác suất trong cơ học lượng tử được cho bởi bình phương độ lớn của một hàm phức tạp gọi là hàm sóng sóng Cameron. Theo tôi, phức tạp thay vì hàm số thực (x = 1, 2, 3,4, 9,8, v.v.), đó là hàm số phức, mỗi số có phần thực và phần ảo (z = 1 + i, 2 + 3.5i, 4.8 + 9i, v.v.) Nếu bạn chưa bao giờ gặp phải điều này trước đây, tôi chắc chắn rằng nó nghe có vẻ rất kỳ lạ. Nhưng tôi không thể nói gì khác hơn là: đây chỉ là cách cơ học lượng tử hoạt động - thật là kỳ lạ!

Vì vậy, ví dụ, nếu hàm sóng của electron là 1 / √2 ở vị trí x và 1 / √2 ở vị trí y, thì khi bạn bình phương các giá trị này, bạn có xác suất: nó có thể được tìm thấy ở vị trí x là 1/2 và cơ hội của nó được tìm thấy tại y cũng là 1/2. Vì vậy, bạn đã có một shot 50/50 nếu bạn tìm nó ở một trong hai vị trí.

Cho đến nay điều này vẫn giống hệt với cơ học thống kê cổ điển. Nếu bạn muốn, bạn cũng có thể chỉ biểu diễn hàm mật độ xác suất trong vật lý cổ điển bằng căn bậc hai của chính nó ở mọi nơi, và không có gì thay đổi. Sự khác biệt là, trong cơ học lượng tử, hàm sóng hoạt động giống như một sự trừu tượng hóa tinh thần và giống như một sóng vật lý thực tế, trong đó nó có thể biểu hiện sự giao thoa.

Rìa nhiễu tối và sáng

Theo kinh điển, sóng xác suất không can thiệp lẫn nhau. Xác suất luôn luôn là một số dương, vì vậy nếu hai hạt khí khác nhau có xác suất p được tìm thấy tại vị trí x, thì xác suất tìm thấy một trong hai hạt đó chỉ là 2p. Về mặt kinh điển, xác suất cho các sự kiện khác nhau xảy ra (hoặc kết quả đo lường khác nhau xảy ra) luôn cộng với nhau, nó không bao giờ trừ.

Nhưng trong cơ học lượng tử, chính hàm sóng (chứ không phải hình vuông) hoạt động như một sóng. Và vì hàm sóng tại mỗi điểm có thể là bất kỳ số phức nào (bao gồm cả số thực dương hoặc âm), đôi khi khi bạn kết hợp các khả năng khác nhau, xác suất sẽ thêm nhưng lần khác chúng trừ đi! Khi phép trừ xảy ra - ví dụ nếu xác suất cho hai sự kiện khác nhau hoàn toàn hủy bỏ khiến cho điều đó không thể xảy ra - đó gọi là giao thoa lượng tử.

Giả sử chúng ta có 2 electron và chỉ có 2 vị trí có thể tìm thấy mỗi electron, vị trí x hoặc vị trí y. Nếu hai electron có thể phân biệt được, thì chúng ta có thể gắn nhãn cho chúng là electron electron A, và electron electron B, và điều này có nghĩa là có 4 trạng thái có thể có của hệ thống 2 electron. Cả A và B đều ở x, cả hai đều ở tại y, A ở x và B ở y, hoặc B ở x và A ở y. Để tóm tắt, chúng ta có AB = xx, yy, xy hoặc yx. Một ký hiệu phổ biến để biểu diễn các trạng thái như thế này trong cơ học lượng tử là sử dụng dấu ngoặc nhọn: | xx>, | yy>, | xy> và | yx>.

Nhưng nghiên cứu khoa học trong những năm 1920 đã chứng minh một thực tế đáng ngạc nhiên: một hệ thống gồm 2 electron như thế này không thể ở 4 trạng thái khác nhau, chỉ có 1 trạng thái có thể tồn tại!

Một phần lý do khiến bạn có thể đoán: nếu không có cách nào để phân biệt electron A với electron B, thì các trạng thái | xy> và | yx> giống hệt nhau. Chúng chỉ là hai cách khác nhau để thể hiện cùng một trạng thái vật lý. Dù bằng cách nào, có 1 electron ở vị trí x và 1 ở vị trí y.

Nhưng điều đó vẫn để lại cho chúng ta 3 trạng thái chứ không phải 1 - có gì sai khi có trạng thái như | xx> trong đó cả hai electron đều ở vị trí x hoặc | yy> trong đó cả hai đều ở vị trí y? Hóa ra, hơn 1 electron không bao giờ có thể chiếm cùng một trạng thái. Năm 1925, Wolfgang Pauli đã đề xuất nguyên tắc này - hiện được gọi là nguyên tắc loại trừ Pauli - và năm 1940, ông đã có thể chứng minh bằng lý thuyết trường lượng tử rằng nó không chỉ áp dụng cho các điện tử mà còn cho tất cả các hạt thuộc một loại nhất định (những hạt có nửa nguyên. spin - electron có spin 1/2).

Wolfgang Pauli

Nó sẽ đưa tôi đi quá xa chủ đề để đưa ra một lời giải thích đầy đủ về spin trong bài này (nếu bạn muốn biết thêm, bạn được khuyến khích đọc lời giải thích của tôi về spin-1/2 ở đây trên Quora, mà họ vừa thông báo tôi đã được gửi qua email tới hơn 100.000 người ngày hôm qua). Nhưng hóa ra, tất cả các hạt lượng tử rơi vào 1 trong 2 loại: fermion hoặc boson. Các fermion có spin nửa nguyên và tuân theo nguyên tắc loại trừ Pauli, trong khi các boson có spin nguyên và không.

Các fermion có xu hướng có nhiều thuộc tính giống như vật chất khác. Ví dụ, các electron, proton và neutron đều là fermion spin-1/2. Chúng là những gì tạo nên các khối vật chất (nguyên tử, phân tử, v.v.) Bạn có thể đã nghe thấy ở đâu đó hoặc vật chất khác không thể chiếm cùng một không gian cùng một lúc. Điều này một phần là do nguyên tắc loại trừ Pauli (cũng như lực đẩy tĩnh điện giữa các nguyên tử khác nhau).

Boson có xu hướng có nhiều tính chất giống bức xạ của người Viking. Ví dụ, photon - các hạt chịu trách nhiệm về ánh sáng và các bức xạ điện từ khác (sóng vô tuyến, vi sóng, wifi, tia cực tím, tia X, tia gamma, v.v.) - là các spin-1 boson. Boson Higgs được phát hiện tại LHC năm 2012 là boson spin-0. Và hầu hết các nhà vật lý lý thuyết tin rằng lực hấp dẫn được trung gian bởi một boson spin-2 được gọi là graviton, mặc dù điều này vẫn chưa được phát hiện trong phòng thí nghiệm.

Nguyên tắc loại trừ Pauli không chỉ là một quy tắc tiên đề, đó là một kết luận có thể được rút ra từ các lý thuyết cơ bản tốt nhất của chúng ta về vật lý. Trên thực tế, nó đòi hỏi cả lý thuyết tương đối đặc biệt của Einstein kết hợp với cơ học lượng tử để rút ra hoàn toàn nguyên tắc loại trừ Pauli như một kết luận. Do cách thức hoạt động của spin, hàm sóng của 2 boson luôn bị buộc phải là đối xứng, trong khi đó hàm sóng của 2 fermion luôn bị buộc phải là đối xứng ngược.

Trong bối cảnh này, đối xứng đơn giản có nghĩa là nếu bạn trao đổi vị trí của hai boson thì không có gì xảy ra - bạn sẽ quay lại chính xác cùng một trạng thái. Đối xứng có nghĩa là một cái gì đó tương tự nhưng không hoàn toàn: nếu bạn trao đổi vị trí của hai fermion giống nhau thì bạn sẽ quay lại trạng thái tương tự nhưng có dấu trừ ở phía trước nó.

Cơ học lượng tử được thực hiện trong một loại không gian vectơ gọi là không gian Hil Hilbert, trong đó bất cứ khi nào bạn có 2 trạng thái, có một trạng thái khác có thể được hình thành từ chúng bằng cách thêm chúng lại với nhau trong một tổ hợp tuyến tính. Ví dụ: nếu | xy> và | yx> là cả hai trạng thái trong không gian Hilbert, thì | xy> + | yx> cũng là một trạng thái trong cùng một không gian Hilbert. Và | xy> - | yx> hoặc bất kỳ kết hợp tuyến tính nào khác như 3 | xy> -2 | yx>. Cách kết hợp các trạng thái này trong cơ học lượng tử được gọi là siêu chồng Hồi giáo. Thay vì chắc chắn ở một địa điểm hoặc chắc chắn ở một địa điểm khác, điện tử có một số cơ hội ở một và một số cơ hội ở vị trí khác.

Tuy nhiên, vì các trạng thái này đại diện cho hàm sóng lượng tử và tôi đã đề cập trước đó rằng bình phương độ lớn của hàm sóng lượng tử là phân bố xác suất, các trạng thái phải được chuẩn hóa theo cách sao cho tổng xác suất của electron được tìm thấy ở bất cứ đâu đến 100% (hoặc 1). Do đó, các hệ số trong các kết hợp tuyến tính ở trên phải được chia cho một yếu tố tổng thể để chuẩn hóa chúng.

Kết hợp điều này với yêu cầu rằng các hàm sóng fermionic phải luôn luôn đối xứng, điều đó có nghĩa là trạng thái duy nhất 2 electron này có thể ở (giả sử chỉ có 2 vị trí có thể có cho chúng) là 1 / √2 | xy> -1 / 2 | yx>. (Hoặc cùng một thứ được nhân với bất kỳ số phức nào có cường độ 1, tương đương về mặt vật lý.) Nếu chúng ta trao đổi x và y trong này, chúng ta sẽ nhận được 1 / √2 | yx> -1 / √2 | xy> chính xác -1 lần trạng thái ban đầu. Về mặt toán học, đây là một trạng thái khác trong không gian Hilbert, nhưng về mặt vật lý thì nó cũng có nghĩa tương tự. Nếu bạn bình phương các hệ số 1 / then2 thì nó sẽ cho bạn biết rằng có 1/2 khả năng electron A ở x và electron B ở y và 1/2 khả năng electron B ở x và electron A đang ở y 50/50

Những gì chúng tôi đã làm là lấy hai trạng thái không thể phân biệt về mặt vật lý - | xy> và | yx>, và hình thành nên sự chồng chất của chúng có tính chất đối xứng cần có của fermion. Nhưng còn các tiểu bang | xx> và | yy> thì sao? Chúng không bao giờ có thể được tạo thành đối xứng, bởi vì việc hoán đổi x với x hoặc y với y không thay đổi bất cứ điều gì. Bởi vì về bản chất chúng là các trạng thái đối xứng, chúng không thể tồn tại cho các fermion - chúng chỉ áp dụng cho boson.

Như bạn có thể đoán, điều này có nghĩa là đối với các boson, có 3 trạng thái có thể tồn tại thay vì chỉ 1. Với 2 photon có thể ở vị trí x hoặc vị trí y, 3 trạng thái khác nhau mà chúng có thể ở là | xx> , | yy> hoặc 1 / √2 | xy> + 1 / √2 | yx> - tất cả đều đối xứng hoàn hảo nếu bạn trao đổi x và y. (Không có dấu trừ.)

Tóm lại, một cặp hạt có thể phân biệt có thể ở 2 vị trí khác nhau có 4 trạng thái có thể có. Trong khi đó, một cặp fermion chỉ có 1 trạng thái có thể và một cặp boson có 3 trạng thái có thể. Điều này dẫn đến hành vi thống kê rất khác nhau đối với fermion và boson, và giải thích tại sao rất nhiều tính chất của 2 loại hạt rất khác nhau.

Trong một bài viết trước đây của tôi, tôi đã kể câu chuyện về cách nghiên cứu entropy của Max Planck vào cuối những năm 1800 dẫn đến sự khám phá ban đầu về cơ học lượng tử. Trong cùng khoảng thời gian đó, đã có một manh mối lớn xuất hiện được một thời gian - một câu đố nổi tiếng liên quan đến phiên bản nhiệt động lực học của Maxwell và Boltzmann (sau này được gọi là cơ học thống kê). Sử dụng Định luật Trang bị, nhiệt động học cổ điển dự đoán khả năng nhiệt sai cho nhiều khí ở nhiệt độ thấp.

Một công suất nhiệt của người khác là nhiệt lượng mà một thứ gì đó có thể hấp thụ cho đến khi nhiệt độ của nó tăng lên một mức cố định (thường là 1 độ C). Một số khí có thể hấp thụ rất nhiều nhiệt (năng lượng nhiệt) mà không làm tăng nhiệt độ của chúng nhiều. Trong khi đối với những người khác, chỉ tiếp xúc với một lượng nhiệt nhỏ sẽ khiến nhiệt kế tăng vọt. Lý thuyết đằng sau điều này, theo Maxwell và Boltzmann, là một số khí tốt hơn trong việc hấp thụ và lưu trữ năng lượng nhiệt so với các loại khác bởi vì chúng có số lượng tự do bên trong lớn hơn - những mức độ tự do này mà phục vụ hiệu quả như các vật chứa trong đó năng lượng có thể được lưu trữ. Định lý Equipartition (do Maxwell đề xuất và sau đó được chứng minh chung hơn bởi Boltzmann) nói rằng ở trạng thái cân bằng, mọi chất khí (hoặc chất lỏng hoặc chất rắn) sẽ có tổng năng lượng bên trong là 1/2 NkT. Trong đó N là số bậc tự do trong khí đó, T là nhiệt độ của khí đó và k chỉ là hằng số của Boltzmann. Nói cách khác, khí sẽ có 1/2 kT năng lượng nhiệt trên mỗi bậc tự do.

Ví dụ: nếu chúng ta có một loại khí Hydrogen đơn nguyên tử (monatomic có nghĩa là mỗi phân tử là một nguyên tử), mỗi nguyên tử có 3 bậc tự do vì nó có thể di chuyển theo một trong 3 hướng: lên hoặc xuống, trái hoặc phải và ngược lại và chuyển tiếp (3 hướng kể từ khi chúng ta sống trong không gian 3 chiều). Năng lượng nhiệt có thể được hấp thụ bởi một nguyên tử Hydrogen bằng cách tăng động năng của nó theo bất kỳ 3 hướng độc lập nào.

Tín dụng hình ảnh: astarmathsandphysics.com

Mặt khác, nếu chúng ta có một loại khí của các phân tử hydro diatomic (diatomic có nghĩa là mỗi phân tử bao gồm 2 nguyên tử được kết nối bởi một liên kết hóa học) thì sẽ có nhiều mức độ tự do hơn (theo cách có thể mà mỗi phân tử của khí có thể di chuyển) . Ngoài quyền tự do di chuyển tuyến tính theo bất kỳ 3 chiều nào, nó cũng có quyền tự do xoay dọc theo một trong hai trục khác nhau.

Mặc dù 75% vật chất trong vũ trụ tính theo khối lượng là Hydrogen đơn chất, nhưng phần lớn Hydrogen trên Trái đất là Hydrogen diatomic. Đó là bởi vì Hydrogen chỉ là nguyên tử ở nhiệt độ và áp suất cực cao tồn tại bên trong các ngôi sao (như mặt trời). Trong phạm vi nhiệt độ được tìm thấy gần bề mặt Trái đất, Hydrogen tự nhiên kết hợp thành pha diatomic của nó. Nhưng điều có vẻ kỳ lạ vào những năm 1800 là tùy thuộc vào nhiệt độ chính xác, hydro diatomic có thể có khả năng sinh nhiệt khác nhau.

Tín dụng hình ảnh: Hyperphysics

Ở nhiệt độ phòng, Hydrogen có công suất nhiệt trên mỗi phân tử gần 5/2 k (hoặc nếu là trên mỗi mol thay vì trên mỗi phân tử, điều này được viết là 5/2 R như trong sơ đồ). Theo quan điểm của Maxwell và Boltzmann về nhiệt động lực học, điều này hàm ý 5 bậc tự do (thực tế là 7, nếu bạn bao gồm thêm 2 bậc tự do cho các rung động). Nhưng giá trị chính xác ở nhiệt độ phòng là khoảng 2,47k. Và khi khí được làm mát xuống dưới 0 Celsius (273K), nó giảm dần xuống từ 2,47k cho đến khi cuối cùng ổn định ở mức 1,5k. Nhưng 3/2 k có nghĩa là nó chỉ có 3 bậc tự do - nói cách khác, đó là một loại khí độc! Tại sao Hydrogen lạnh hơn sẽ trở thành một loại khí monatomic ở nhiệt độ thấp? Và nó có nghĩa gì khi có một giá trị trong khoảng từ 3 đến 5 độ tự do? Nhiệt dung được cho là độc lập với nhiệt độ. Có những vấn đề tương tự đã biết với khả năng nhiệt đo được của khí Oxy và Nitơ.

Có nhiều lời giải thích được đề xuất cho câu đố này vào những năm 1800, nhưng không ai hiểu câu trả lời đầy đủ cho đến khi phát triển cơ học lượng tử. Câu trả lời đầy đủ là các cách thức mà mức độ tự do quay có thể được kích thích trong các phân tử được lượng tử hóa. Về mặt kinh điển, một thứ gì đó có thể xoay ở bất kỳ tốc độ nào, bất kể chậm đến mức nào - vì vậy bất kỳ lượng năng lượng nào, dù nhỏ đến đâu cũng có thể bắt đầu một thứ gì đó quay. Nhưng trong cơ học lượng tử, động lượng góc được lượng tử hóa nên các phép quay chỉ có thể xảy ra theo các bước tăng riêng biệt. Hoặc là một phân tử bắt đầu quay nhanh, hoặc hoàn toàn không - không có ở giữa. Bởi vì điều này, ở nhiệt độ thấp, lượng năng lượng trung bình được trao đổi giữa các va chạm ngẫu nhiên của các phân tử chỉ là quá nhỏ để kích thích các mức độ tự do này. Ở nhiệt độ thấp, khí Hydrogen vẫn diatomic nhưng 3 mức độ tự do tịnh tiến là những thứ duy nhất có thể bị kích thích - không có đủ năng lượng để bắt đầu các phân tử quay. Một khi nhiệt độ tăng lên trên một ngưỡng nhất định, các năng lượng điển hình liên quan đến va chạm trở nên đủ để kích thích sự quay. Nhiệt độ càng cao, xác suất năng lượng đủ cao để gây ra sự quay; do đó, công suất nhiệt tăng dần lên đến mức mà người ta mong đợi đối với một thứ gì đó gồm các phân tử có 5 bậc tự do. Nếu bạn tiếp tục tăng nhiệt độ hơn nữa, cuối cùng nó sẽ đủ nóng để kích thích các rung động (hãy tưởng tượng liên kết giữa các nguyên tử giống như một lò xo, kéo dài và nén xen kẽ), điều này hóa ra cũng được định lượng. Ở nhiệt độ rất nóng, khí diatomic có 7 bậc tự do có thể tiếp cận, đó là những gì bạn có thể nghĩ là đúng ở bất kỳ nhiệt độ nào. Cơ học lượng tử cung cấp một lời giải thích tương tự cho khả năng nhiệt của Oxy và Nitơ.

Einstein đã đề xuất vào năm 1906 rằng lượng tử hóa có thể giải quyết được mâu thuẫn rõ ràng này giữa Định luật Trang bị của Maxwell và Boltzmann và các đường cong được đo bằng thực nghiệm cho các khối khí cụ thể. Và giả thuyết của ông đã được Nernst xác nhận vào năm 1910 khi ông đo các khối lượng riêng của các loại khí khác nhau để có độ chính xác cao hơn và thấy chúng đồng ý với các dự đoán lý thuyết của Einstein. Đây là một trong những thử nghiệm thử nghiệm đầu tiên của cơ học lượng tử sơ khai, và nó đã vượt qua!

Nhưng trở lại với các hạt giống hệt nhau, có một cách khác trong đó một lý thuyết cơ học lượng tử về khí khác biệt đáng kể với lý thuyết cổ điển về khí của những năm 1800.

Nếu các hạt riêng lẻ của một loại khí có thể phân biệt được, thì khi bạn làm lạnh khí xuống mức 0 tuyệt đối, tất cả chúng sẽ chuyển sang trạng thái cơ bản - bất kỳ trạng thái nào của chúng có năng lượng thấp nhất. Thông thường, bạn sẽ nghĩ trạng thái cơ bản là một trạng thái mà mọi hạt đều hoàn toàn nghỉ ngơi và không có động năng, năng lượng quay hoặc bất kỳ loại chuyển động hoặc năng lượng bên trong nào khác.

Nhưng đối với một loại khí fermion, sự không thể phân biệt của chúng dẫn đến nguyên tắc loại trừ Pauli, cấm nhiều hạt giống nhau đi vào cùng một trạng thái. Do đó, tất cả chúng không thể ở trạng thái cơ bản. Thông thường các mức năng lượng mà một hạt có thể chiếm được được biểu thị bằng sơ đồ bậc thang, trong đó mỗi mức năng lượng là một nấc thang khác trên thang. Thông thường cũng có sự suy thoái của Hồi giáo, nơi có nhiều trạng thái có cùng năng lượng - trong trường hợp đó chúng có thể được biểu thị bằng cùng một nấc thang miễn là chúng ta theo dõi thực tế là có sự thoái hóa (nhiều trạng thái) trên đó thanh ngang.

Điều gì xảy ra khi một loại khí fermion (còn được gọi là khí Fermi) được làm lạnh xuống 0 tuyệt đối là mỗi trạng thái của một năng lượng nhất định được lấp đầy, bắt đầu từ trạng thái mặt đất và di chuyển lên thang cho đến khi tất cả các hạt trong khí được chiếm và có một nấc thang. Một lần nữa, vì sự thoái hóa, nhiều hạt có thể nằm trên cùng một nấc thang. Nhưng miễn là sự thoái hóa nhỏ so với tổng số hạt, điều này vẫn có nghĩa là rất nhiều nấc thang sẽ được lấp đầy. Khi bạn lấp đầy tất cả các nấc thang bằng các hạt, mức năng lượng cao nhất được lấp đầy được gọi là năng lượng Festi của Fermi.

Năm 1910, cùng năm Nernst đã xác nhận lý thuyết lượng tử về khả năng nhiệt đối với khí tảo, một loại sao mới được các nhà thiên văn học phát hiện. Đến năm 1922, nó được đặt tên là một ngôi sao lùn trắng, nhưng vào năm 1910, các nhà thiên văn học nhận thấy nó khác với các ngôi sao bình thường và có một số tính chất khá kỳ lạ. Điều khó hiểu về loại ngôi sao này là nó dường như quá dày đặc đối với vật lý cổ điển để giải thích làm thế nào nó có thể tỏa sáng.

Sirius B (chấm nhỏ) là ngôi sao lùn trắng gần nhất

Khối lượng của một sao lùn trắng tương tự như khối lượng của Mặt trời, và tất cả khối lượng đó được gói vào một quả bóng nhỏ thường có kích thước tương đương Trái đất. Xem xét Mặt trời to gấp khoảng 333.000 lần Trái đất, điều đó có nghĩa đó là một loại vật chất cực kỳ dày đặc. Vào thời điểm đó, nó dày đặc hơn bất cứ thứ gì các nhà vật lý từng thấy hoặc nghe thấy, mặc dù các ngôi sao được cho là đang đốt các khí ion (còn gọi là plasma), không phải là vật chất rắn. Nếu nó là một loại rắn cực kỳ đậm đặc, thì tại sao nó lại tỏa sáng?

Hóa ra nó thực sự là một plasma, không phải là chất rắn. Nhưng nó thực sự rất dày đặc. Không có lý thuyết cổ điển nào về khí có thể giải thích làm thế nào một loại khí có thể dày đặc như vậy và không chỉ tự sụp đổ do trọng lực của chính nó. Năm 1926, RH Fowler đã giải thích chính xác, bằng cách sử dụng toán học của cơ học lượng tử, rằng các sao lùn trắng thực sự là các khí Fermi chứ không phải là các khí cổ điển.

Nói cách khác, sao lùn trắng là một loại khí có hình dạng giống hệt nhau. Cụ thể, đó là một loại khí điện tử. Ở nhiệt độ cao và áp suất thấp, một loại khí điện tử hoạt động không khác gì một loại khí cổ điển thông thường. Không có vấn đề gì khi các electron riêng lẻ giống hệt nhau vì có nhiều trạng thái có sẵn hơn so với các electron. Chúng có một khối lượng lớn để di chuyển xung quanh, và rất nhiều cách khác nhau để chúng có thể di chuyển do nhiệt độ đủ cao. Nhưng làm lạnh cùng một loại khí đủ, hoặc tăng áp suất để nó được đóng gói thành một thể tích đủ nhỏ, và sau đó các electron bắt đầu bị ép vào cùng một trạng thái. Ngoại trừ việc họ không thể đi vào chính xác cùng một trạng thái do nguyên tắc loại trừ Pauli. Vì vậy, họ chỉ cần lấp đầy các trạng thái lên đến năng lượng Fermi và dừng lại.

Nếu chúng là các hạt có thể phân biệt, thì tất cả chúng phải ở cùng một trạng thái và năng lượng về cơ bản sẽ bằng không - không có chuyển động ở trạng thái cơ bản. Nhưng bởi vì chúng là fermion, nên có một áp lực thoái hóa và giữ cho chúng không rơi vào trạng thái tương tự và tránh được toàn bộ sự sụp đổ do trọng lực. Số liệu thống kê về cách các fermion trong tình huống này được gọi là thống kê của Fermi-Dirac, chỉ trở nên giống với thống kê cổ điển của Max Maxwell-Boltzmann trong giới hạn của nhiệt độ cao và áp suất thấp. Thống kê trong bối cảnh này đề cập đến xác suất là mỗi hạt sẽ có một năng lượng nhất định ở trạng thái cân bằng, như là một hàm của nhiệt độ. Hoặc một cách khác để nói: số lượng hạt dự kiến ​​sẽ được tìm thấy ở mỗi mức năng lượng cho một hệ sau khi nó đạt đến trạng thái cân bằng là bao nhiêu?

Bạn có thể rút ra số liệu thống kê Maxwell-Boltzmann bằng cách đếm xem có bao nhiêu trạng thái độc đáo khác nhau mà các hạt có thể chiếm giữ bằng cách sử dụng tổ hợp, và sau đó tìm ra nơi phân phối trạng thái này đạt đến mức tối đa (cũng đại diện cho entropy tối đa, còn gọi là cân bằng). Đối với năng lượng thấp hơn, sự thoái hóa thường thấp hơn nên không có nhiều trạng thái. Nhưng nếu năng lượng của một hạt riêng lẻ quá cao, thì nó sẽ làm giảm lượng năng lượng còn lại để phân phối giữa các hạt khác dẫn đến kết hợp ít có thể hơn. Vì vậy, có một sự cân bằng, một điều kiện cân bằng, trong đó toàn bộ hệ thống ở mức entropy tối đa khi các trạng thái của một năng lượng nhất định được lấp đầy với số lượng hạt dự kiến ​​N_i = K_i / e ^ (E_i-lau) / (kT)). K_i là sự thoái hóa; nó biểu thị có bao nhiêu trạng thái ở mức năng lượng nhất định E_i. Hệ số của e ^ (- E_i / kT) (trong đó k là hằng số Boltzmann và nhiệt độ T) được gọi là hệ số Bolt Boltzmann. Yếu tố Boltzmann có nghĩa là khi chúng ta di chuyển lên các bậc năng lượng, số lượng hạt chiếm giữ mỗi nấc thang ngày càng ít đi theo cấp số nhân (mặc dù ngày càng có nhiều không gian cho chúng do sự thoái hóa). Nhưng nhiệt độ kiểm soát mức độ giảm theo cấp số nhân này. Biểu tượng tiếng Hy Lạp trong e ^ (E_i-Sự) / (kT) được gọi là tiềm năng hóa học, và hiện tại không quan trọng, nhưng nó đại diện cho tổng năng lượng của một hệ thống sẽ tăng lên nếu thêm một hạt vào nó . (Đối với nhiều hệ thống, Cộng đồng là 0 hoặc xấp xỉ 0 nên thường không bao gồm).

Chừng nào khí còn đủ thưa thớt, chúng ta không phải lo lắng về hai hạt khác nhau chiếm cùng một trạng thái (N_i's dự kiến ​​ở tất cả các trạng thái nhỏ hơn 1), thì việc tạo dẫn xuất tương tự chỉ hoạt động tốt đối với fermion hoặc boson - không thành vấn đề, cả hai đều dẫn đến cùng một thống kê Maxwell-Boltzmann. Tuy nhiên, nếu bạn xem xét trường hợp khí rất đậm đặc hoặc ở nhiệt độ đủ thấp, thì đột nhiên nó quan trọng rất nhiều cho dù các hạt là fermion hay boson (hoặc không, thực sự không xảy ra trong tự nhiên nhưng có thể tưởng tượng được) . Đối với fermion, số lượng hạt dự kiến ​​chiếm mỗi mức năng lượng khi bạn đếm các trạng thái và tìm mức tối đa của chúng là N_i = 1 / (e ^ ((E_i-mật) / (kT)) + 1) - đây là những gì được gọi là Thống kê Fermi-Dirac. Đối với điều kiện mật độ cao trong các ngôi sao lùn trắng hoặc điều kiện nhiệt độ thấp ở các khí Fermi khác, tiềm năng hóa học có thể trở nên quan trọng và nó gần giống như năng lượng Fermi đã thảo luận trước đó (và đối với nhiệt độ bằng 0 thì hoàn toàn giống nhau). Lưu ý rằng sự khác biệt duy nhất giữa số liệu thống kê Maxwell-Boltzmann và số liệu thống kê Fermi-Dirac là cách +1 +1 trong công thức Fermi-Dirac. Một sự khác biệt nhỏ như vậy, và nó có ảnh hưởng rất lớn đến cách hành xử của vấn đề!

Còn boson thì sao? Họ không tuân theo nguyên tắc loại trừ Pauli, vì vậy một loại khí boson có vẻ không khác gì một loại khí cổ điển thông thường? Không, các boson có bộ thống kê riêng mà họ theo dõi được gọi là thống kê của Bose-Einstein, khác với cả thống kê của Maxwell-Boltzmann và Fermi-Dirac.

Mặc dù chúng không tuân thủ nguyên tắc loại trừ Pauli, các boson giống hệt nhau vẫn khác với các hạt có thể phân biệt được vì tổ hợp vẫn khác nhau. Nhớ lại khi chúng ta đang thảo luận về các trạng thái lượng tử trong một không gian Hilbert? Đối với một cặp boson giống hệt nhau, chỉ có 2 trạng thái khả dụng, chúng tôi thấy rằng cặp này chỉ có 3 trạng thái có thể có trong số 4 trạng thái mà bạn mong đợi nếu chúng có thể phân biệt được. Khái quát của điều này là đối với một tập hợp N boson giống hệt nhau với K trạng thái có sẵn, có N N chọn K-1 Tiết = (N + K-1)! / N! / (K-1)! các trạng thái độc đáo khác nhau mà chúng có thể ở, thay vì K ^ N cho các hạt phân biệt. (Tất nhiên, dấu! Là các ký hiệu nhân tử toán học như trong phần 1.) Bạn có thể dễ dàng kiểm tra xem cái này có hoạt động với ví dụ ban đầu của tôi không, trong đó N = K = 2: (2 + 2 đùa1)! / 2! / (2 Cẩu1)! = 3! / 2! / 1! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) / 1 = 6/2 = 3.

Cho phép mọi mức năng lượng có số trạng thái suy biến K_i khác nhau, công thức phải được mở rộng thành một sản phẩm gồm rất nhiều yếu tố mỗi dạng (N_i + K_i + 1)! / N_i! / (K_i-1)! (điều tương tự như trên, chỉ với i đăng ký trên chúng để phân biệt các mức năng lượng khác nhau E_i). Sau khi sử dụng phép tính để tìm cực đại của biểu thức này, trạng thái cân bằng kết quả có thể được xác định là trạng thái có N_i = K_i / (e ^ ((E_i-bit) / (kT)) - 1) trong mỗi mức năng lượng E_i Đây là công thức để thống kê Bose-Einstein. Lưu ý, sự khác biệt duy nhất giữa công thức này và công thức Fermi-Dirac là +1 bây giờ là -1! Điều này làm cho cả 3 người họ dễ nhớ hơn. Mặc dù thường là cho các boson, nhưng số 0 là vì chúng có thể dễ dàng tạo hoặc hủy - ví dụ, số lượng photon không được bảo tồn trong vũ trụ của chúng ta, vì vậy chúng có thể xuất hiện và biến mất mà không cần chi phí khi cần.

Công thức thống kê Einstein-Bose được phát hiện bởi một nhà vật lý người Ấn Độ tên Satyendra Nath Bose, một hoặc hai năm trước khi thống kê Fermi-Dirac được phát hiện và áp dụng cho các sao lùn trắng. Câu chuyện về cách anh ấy đến nó là hấp dẫn. Ông đã có một bài giảng vào năm 1924 tại Anh Ấn Độ (trong phạm vi ngày nay gọi là Bangladesh) về thảm họa tia cực tím của Hồi. Thảm họa tia cực tím là cái tên được đặt ra vào đầu thế kỷ 20 cho vấn đề không ai biết làm thế nào để rút ra hoàn toàn công thức của Planck đối với bức xạ đen từ cơ học thống kê, mà tôi thảo luận rất lâu về phần phổ biến nhất của tôi trên Medium (câu chuyện về cách Planck vấp phải cơ học lượng tử bằng cách nghiên cứu entropy).

Planck đã đúng khi chỉ ra rằng chìa khóa là giả định năng lượng đã được lượng tử hóa bằng cách nào đó, nhưng anh ta đã không thành công trong việc tạo ra một dẫn xuất hoàn toàn sạch từ các nguyên tắc đầu tiên, mà không bao gồm một số giả định ad hoc về các chế độ rung bên trong lò nướng. Bose đã trải qua quá trình chứng minh cho khán giả tại sao bắt đầu từ sự kết hợp cơ bản của các trạng thái và mức năng lượng, bạn kết thúc với công thức sai. Ngoại trừ việc cuối cùng, một phép lạ kỳ lạ đã xảy ra - anh ta làm chính mình và mọi người ngạc nhiên khi bằng cách nào đó vô tình kết thúc đúng công thức. Anh ta nhìn lại những gì anh ta đã làm và nhận ra rằng anh ta đã phạm sai lầm - khi đếm các trạng thái lên, anh ta đã đếm chúng theo cách sai lầm của nhà vua. Anh ta đã vô tình đối xử với các photon như thể tất cả chúng giống hệt nhau và có thể thay thế cho nhau thay vì có thể phân biệt được như trước đây. Sau khi suy nghĩ về điều này nhiều hơn, anh nhận ra có lẽ anh đang gặp phải điều gì đó - có lẽ đó thực sự không phải là một sai lầm. Anh không biết nói với ai về điều đó, vì vậy anh quyết định viết một lá thư cho Albert Einstein. Einstein ngay lập tức rất phấn khích và giúp ông xuất bản một bài báo về nó.

Satyendra Nath Bose

Vì vậy, chìa khóa đầu tiên để tái tạo công thức của Planck là ánh sáng được lượng tử hóa thành các gói năng lượng riêng lẻ được gọi là photon. Nhưng chìa khóa lớn thứ hai là những photon này không có bất kỳ danh tính riêng lẻ nào. Ngoài một số có năng lượng và động lượng khác với những người khác, tất cả đều giống hệt nhau. Với nhận thức muộn, điều này làm cho rất nhiều công trình trước đây của Boltzmann và Gibbs về cơ học thống kê có ý nghĩa hơn. Đã có một yếu tố của N! đưa vào các phương trình để làm cho phân phối Maxwell-Boltzmann hoạt động đúng, và để đảm bảo entropy được chia tỷ lệ đúng với âm lượng. Gibbs nhận thức được rằng điều này có liên quan đến việc xử lý các hạt như thể chúng có thể hoán đổi cho nhau, nhưng không ai chú ý đến điều đó hoặc đã thực sự đưa nó vào lòng. Trước Bose, nhìn chung mọi người vẫn cho rằng các hạt sẽ có thể phân biệt được với nhau ở một mức độ nào đó ít nhất là về nguyên tắc.

Sai lầm tình cờ của Bose ở Bangladesh đã cho phép toàn bộ thế giới vật lý đặt chiếc đinh vào quan tài vì ý tưởng rằng các hạt lượng tử mỗi loại có bản sắc riêng. Nếu họ có, thì sẽ có nhiều trạng thái hơn và chúng ta vẫn sẽ có một thảm họa cực tím trên tay - nhiệt động lực học của các photon có thể phân biệt sẽ không bao giờ có thể tái tạo được bức xạ của người da đen được quan sát thấy trong các lò đen từ cuối những năm 1800. Chúng ta cũng không thể giải thích tại sao mặt trời hoặc các nguồn sáng khác không tỏa ra một nguồn năng lượng vô hạn.

Và đó - những người bạn của tôi - là câu chuyện về cách chúng ta biết rằng tất cả các điện tử đều giống hệt nhau!

Vui lòng nhấp vào nút vỗ tay nếu bạn tìm thấy thông tin này, cảm ơn :-)