10 khoảnh khắc khó xử trong lịch sử toán học

Chúng tôi đã trải qua tất cả những khoảnh khắc khó xử của chúng tôi. Một cái gì đó bất ngờ xảy ra, có một số căng thẳng xã hội và một sự khó chịu cá nhân và bạn thực sự muốn vượt qua nó hoặc quên rằng nó đã từng xảy ra. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu bạn là một nhà toán học khắt khe và bạn chỉ khiến thế giới của mình bị từ chối?

Toán học luôn hướng đến sự theo đuổi tìm hiểu thế giới thông qua logic và diễn đạt nó bằng một ngôn ngữ toán học được xác định chặt chẽ. Nó thực sự mang tính biểu thị, giáo dục và thú vị, để quan sát toán học khi nó dừng lại (trong giây lát) có ý nghĩa.

1. Việc phát hiện ra các số vô tỷ

Trường phái Athens, miêu tả, trong số hầu hết các nhà triết học Hy Lạp cổ đại có thể, Pythagoras ở góc trái

Vì nguồn gốc của sự khắt khe toán học nằm ở Hy Lạp cổ đại, tư tưởng toán học bắt đầu gần với niềm tin tôn giáo, do đó, con số được quy cho các đặc điểm thần thánh.

Trường Pythagoras, một nhóm các nhà toán học đầu tiên đã thúc đẩy kiến ​​thức toán học tiến lên, giống như tất cả các giáo phái, dựa trên một số niềm tin cơ bản. Ngạc nhiên trước khả năng áp dụng các tỷ số cho mọi vấn đề thực tế, họ tin rằng các tỷ số (vâng, số chia đơn giản) là thần thánh, vì họ có thể giải thích bất cứ điều gì đang xảy ra trên thế giới.

Theo đó, mọi thứ đang xảy ra trên thế giới sẽ có thể được thể hiện dưới dạng tỷ lệ, phải không?

Bây giờ, hãy tưởng tượng sự ngạc nhiên của họ khi họ phát hiện ra căn bậc hai của 2, trong khi áp dụng Định lý Pythagore mới được xây dựng. Số vô tỷ này (có nghĩa là không hợp lý mà nó không thể được biểu thị bằng tỷ lệ của hai số) đã thách thức trật tự thế giới như được thể hiện bằng thiên tính của các tỷ lệ và đặt câu hỏi cho toàn bộ triết lý của chúng.

Kinh hoàng trước hậu quả của phát hiện mang tính cách mạng này, họ quyết định không nói cho ai biết về nó. Người ta cũng nói rằng họ thậm chí đã nhấn chìm người đàn ông đã khám phá ra, Hippasus. Yên tĩnh khoa học, bạn không nghĩ sao?

2. Vô cực

Việc phát hiện ra những con số vô lý, vốn đã tệ như vậy, đã đưa người Hy Lạp đến trước một khám phá đáng sợ hơn: vô cùng. Vì các số vô tỷ được đặc trưng bởi có số chữ số thập phân vô hạn, người Hy Lạp đã phải đưa ra lời giải thích về cách tạo ra một chuỗi số không bao giờ kết thúc. Khái niệm vô cực ngày nay thật khó hiểu, chứ đừng nói đến một thời đại khi tôn giáo được kết nối với khoa học và một niềm tin toán học không nên thách thức sự hiểu biết của chúng ta về Thiên Chúa. Vậy, người Hy Lạp đã làm gì? Các nhà triết học, như Aristotle và Plato, đã bác bỏ quan niệm về sự vô hạn tuyệt đối và các nhà toán học đã đưa ra những cách sáng tạo để tránh sự cần thiết của vô cực trong hình học, như Eudoxus của Cnidus, người đã phát triển phương pháp cạn kiệt để tính diện tích hình dạng. Mãi đến cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz mới khuyến khích tính đến vô cực thông qua việc sử dụng infinitesimals và John Wallis đã giới thiệu biểu tượng vô cực nổi tiếng vào năm 1655.

3. Nghịch lý của Zeno

Người Hy Lạp chắc chắn đã đi đến cực đoan khi nói đến lý luận triết học.

Sau khi người tiền nhiệm Heraclitus tuyên bố rằng mọi thứ trên thế giới luôn thay đổi, Parmenides tuyên bố rằng không có gì thay đổi. Kết quả là, chuyển động chỉ là một ảo ảnh và do đó, sử dụng toán học, ngôn ngữ của sự thật theo người Hy Lạp, để mô tả nó là không thể.

Zeno, một trong những sinh viên của Parmenides, đã nghĩ ra một loạt nghịch lý nhằm chứng minh sự bất hợp lý của chuyển động. Người nổi tiếng nhất, Achilles và rùa của anh ta, như thế này: Achilles đang chạy đua với một con rùa, chậm hơn đáng kể được tạo lợi thế khi bắt đầu cuộc đua trước anh ta 100 mét.

Nếu chúng ta cho rằng, vì sự đơn giản, tốc độ của hai thí sinh là không đổi và Achilles nhanh hơn rùa gấp 10 lần thì chúng ta có thể nói rằng khi Achilles đến điểm xuất phát của rùa, nó sẽ chạy được 10 mét. Vì vậy, Achilles sẽ cố gắng bắt kịp và đến khi anh ta đạt đến điểm tiếp theo này, con rùa sẽ di chuyển thêm một mét.

Bài toán toán cấp ba này, đơn giản và rõ ràng như vậy, dẫn chúng ta đến một kết luận nghịch lý sau: Achilles sẽ không bao giờ đến được con rùa cho dù anh ta có nhanh hơn bao nhiêu. Xin chúc mừng Zeno, bạn đã làm cho âm thanh chuyển động phi logic.

Nghịch lý của Zeno được cho là tồn tại trong vương quốc của siêu hình học và các nhà triết học và toán học gặp khó khăn trong nhiều thời đại, nhưng ngày nay chúng có thể được giải thích bằng phép tính, một công cụ toán học mà người Hy Lạp không sở hữu. Hãy di chuyển trên mạng.

4. Dải Mobius

Một dải Mobius tự làm

Dải Möbius trông buồn cười, cũng được phát hiện độc lập vào năm 1858 bởi Danh sách không may mắn có tên không để lại lịch sử toán học, là một bề mặt chỉ có một mặt và chỉ một ranh giới, thường được sử dụng để đánh đố các học sinh toán học trẻ.

Bạn có thể dễ dàng tạo ra nó bằng cách lấy một dải giấy, xoắn nó và sau đó nối các đầu của dải.

Là ví dụ đầu tiên về một bề mặt không có định hướng, nó không làm lung lay nền tảng của toán học nhiều như những khám phá khác của danh sách này, nhưng nó cung cấp rất nhiều ứng dụng thực tế, như vành đai kháng và các nhà toán học truyền cảm hứng để đưa ra bề mặt không thể thay đổi, như chai Klein. (Tên của bề mặt này có thể xuất phát từ một sự trùng hợp kép: Klein, khái niệm của nó, ban đầu đặt tên là Fläche, có nghĩa là bề mặt trong tiếng Đức và âm thanh tương tự như Flasche, có nghĩa là chai. niêm phong việc đổi tên).

5. Không thể đếm được của Cantor về số thực

Đối phó với vô cực đã là một lực cản, Cantor đã chứng minh vào năm 1874 rằng trên thực tế có nhiều loại vô cực khác nhau. Cụ thể, chứng minh tính không thể đếm được của các số thực, Cantor đã chứng minh rằng tập hợp này lớn hơn tập hợp các số tự nhiên đã vô hạn.

Năm 1891, ông cũng đưa ra lập luận đường chéo, một bằng chứng thanh lịch đến nỗi sau này nó được sử dụng như một công cụ để chứng minh thông qua việc sử dụng một nghịch lý. Nhận xét của ông đã sinh ra lý thuyết về số lượng hồng y, cũng như những nghịch lý liên quan đến câu hỏi: bạn có thể xử lý được bao nhiêu điểm?

6. Nghịch lý của Russell

Bertrand Russell là một nhà toán học, triết gia, nhà logic học, nhà toán học, nhà sử học, nhà văn, nhà phê bình xã hội, nhà hoạt động chính trị và, theo tôi, một nhân cách đáng để nghiên cứu và truyền cảm hứng cho chính mình.

Năm 1901, Russell đã phát hiện ra một điểm yếu trong lý thuyết tập hợp đã được thiết lập từ trước đến nay của Cantor, điều này dẫn ông đến một mâu thuẫn mà thế giới toán học không thể giám sát được. Theo lý thuyết này, bất kỳ bộ sưu tập của mọi thứ có thể là một bộ.

Ví dụ mâu thuẫn của Russell, còn được gọi là nghịch lý của Thợ cắt tóc, diễn ra như sau: hãy tưởng tượng một thị trấn có quy tắc đặc biệt; mỗi người đàn ông không được cạo râu phải được cạo bởi thợ cắt tóc của thị trấn. Câu hỏi khó xử, mà bạn có thể cố gắng tự trả lời, đó là: ai cạo thợ cắt tóc?

Phát hiện này khiến ông đặt câu hỏi về nền tảng đơn thuần của lý thuyết tập hợp trước đó và tạo ra một lý thuyết mới, phức tạp hơn so với lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel được đề xuất sau đó, đã không theo kịp.

7. Định lý bất toàn của Godel

Kurt Gödel nhà logic học, nhà toán học và triết gia đã làm rung chuyển nền tảng của toán học và logic trong thế kỷ 19.

Nếu các sự kiện trước đó dường như tạo ra những khoảnh khắc hơi khó chịu, hãy chờ đợi con rùa vụng về sau (và điều này còn tệ hơn cả sự kiện Achilles).

Chúng ta đang nói về thế kỷ 20. Mọi người không chỉ muốn biết. Họ muốn biết nếu có thể biết, và chứng minh điều đó. Thật không may mắn cho họ, và nhu cầu tìm hiểu vũ trụ của con người, Gôdel đã xuất bản năm 1931 hai định lý, được gọi là các định lý không hoàn chỉnh.

Giải thích về các kỹ thuật của chúng cũng khó như đưa ra kết luận của họ, như những gì Gôdel đã chứng minh là, khi xem xét một hệ thống nhất quán và đầy đủ, như ngôn ngữ số học, có những phát biểu vừa đúng vừa không thể chứng minh được. Ông đã minh họa sự thật của định lý của mình bằng tuyên bố đơn giản này, lấy cảm hứng từ nghịch lý của kẻ nói dối: Lời tuyên bố này không thể được chứng minh. Nếu điều này là đúng, thì tuyên bố này là đúng và không thể được chứng minh. Nếu điều này là sai, thì tuyên bố này có thể được chứng minh, điều này mâu thuẫn với lập luận ban đầu rằng nó không thể được chứng minh.

Đây là những tin tức rất xấu cho toán học, tước đi ánh sáng ban đầu của họ để giải thích sự thật tuyệt đối. Đó cũng là một sự trở lại khủng khiếp đối với cuộc tìm kiếm tri thức của Hilbert, được thể hiện trong tuyên bố của anh ấy. Chúng tôi phải biết, chúng tôi sẽ biết đến.

8. Định lý bất khả xâm phạm của Tarski

Có vẻ như Tarski đã được truyền cảm hứng từ sự tuyệt vọng được tạo ra bởi Gôdel. Năm 1936, ông đã cung cấp bằng chứng cho vấn đề không thể xác định được.

Mặc dù các quan sát của Tarski cũng được đưa vào tác phẩm của Gôdel, nhưng người ta cho rằng tác phẩm của Tarski có tác động triết học sâu sắc hơn. Tarski đã xoay sở để đi đến kết luận chung rằng một ngôn ngữ không thể tự xác định sự thật. Mặc dù đây là một hạn chế quan trọng, ông cho rằng sử dụng ngôn ngữ meta mạnh hơn là đủ để xác định sự thật bằng ngôn ngữ đơn giản hơn.

Bây giờ, một người bình thường có thể nghĩ rằng điều này giải quyết được vấn đề, nhưng đối với một nhà toán học đang tìm kiếm ngôn ngữ của một người cai trị tất cả họ thì đây không phải là điều an ủi.

9. Vấn đề tạm dừng

Alan Turing đã cố gắng giải quyết vấn đề quyết định, nói một cách đơn giản, tìm cách giải thuật có thể trả lời liệu một tuyên bố có đúng hay không. Để giải quyết vấn đề đơn giản nhưng khó giải quyết về mặt khái niệm này, ông đã đưa ra vấn đề tạm dừng: có một cỗ máy nào có thể cho bạn biết liệu một chương trình sẽ dừng lại ở một vấn đề nhất định không?

Dừng lại có nghĩa là nó sẽ không lặp lại mãi mãi. Nhưng làm thế nào để bạn chứng minh tính không khả thi của một chiếc máy mà bạn biết rất ít về? Đây là nơi nghịch lý có ích.

Alan Turing bắt đầu bằng cách giả sử sự tồn tại của một cỗ máy đưa ra một chương trình đầu vào và một vấn đề trả lời cho câu hỏi liệu nó có dừng lại hay không. Sau đó, ông đã tăng cường máy này bằng cách lặp lại đầu ra của nó nếu câu trả lời là có và tạm dừng nếu câu trả lời là không.

Vì vậy, máy tăng cường sẽ dừng lại ở vấn đề tạm dừng? Câu trả lời của Alan là: nếu có thì không, nếu không thì có. Âm thanh như tin xấu cho logic.

10. Định lý ăn trưa miễn phí

Đoạn văn đến thế kỷ 21 biểu thị một sự chuyển từ toán học thuần túy, gần như triết học, sang các lĩnh vực ứng dụng, như thống kê và tối ưu hóa.

Nếu bạn cho rằng mình thích tối ưu hóa, bạn không nghĩ rằng điều này sẽ khiến bạn trở thành người cầu toàn? Và một người cầu toàn sẽ không muốn tìm ra cách tối ưu để tối ưu hóa mọi thứ chứ?

Có vẻ như David Wolpert và William Mac đã cảm nhận được nhu cầu này và đưa ra một câu trả lời, tất nhiên, điều đó không đáng khích lệ chút nào (nếu không nó sẽ không có trong danh sách của chúng tôi). Theo định lý Bữa trưa miễn phí cho Tối ưu hóa của họ, được xuất bản năm 1997, bất kỳ hai thuật toán tối ưu hóa nào cũng tương đương khi hiệu suất của chúng được tính trung bình trên tất cả các vấn đề có thể xảy ra.

Đau lòng điều này có thể, nó không có nghĩa là tối ưu hóa là vô ích. Chúng tôi sẽ không bao giờ tìm thấy một cách tối ưu để làm điều đó.

Những khoảnh khắc này khiến thế giới toán học cảm thấy khó xử, đó là một thuật ngữ nhẹ cho cảm giác tuyệt vọng và hỗn loạn mà các nhà khoa học có xu hướng trải nghiệm khi vũ trụ ngừng có ý nghĩa. Nhưng sốc là cách để đưa khoa học tiến lên.

Các lĩnh vực toán học đã được tạo ra, chúng tôi có Máy Turing, bề mặt trông lạ mắt và quan trọng nhất là khả năng kiểm tra lại nhận thức của chúng tôi và điều chỉnh các công cụ phù hợp.

Những khoảnh khắc đặt câu hỏi này đã giúp chúng tôi phát triển trí tuệ.

Ngoại trừ các định lý không đầy đủ. Đây chỉ là tàn phá.