=, 1 hoặc không xác định. Đó là cái gì

Một vài ngày trước, tôi đã viết một bài báo về Tổng kết Ramanujan, để cắt ngắn một câu chuyện dài là một loạt toán học trông giống như thế này:

Nếu bạn muốn đọc bài viết, bấm vào đây. Tôi chứng minh thực tế này trong bài viết cùng với hai phương trình thú vị không kém khác. Đây thực sự là nơi tôi vấp vào ý tưởng cho chính bài viết này. Sau khi xuất bản Bản tóm tắt Ramanujan, tôi nhận được một nhận xét về việc tôi sử dụng tính giao hoán của một tập hợp vô hạn. Giao hoán là ý tưởng rằng nếu bạn có 1 + 2 + 3, sắp xếp lại các điều khoản không thay đổi kết quả. Vì vậy, 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, bạn có thể nhưng các thuật ngữ theo bất kỳ thứ tự nào và câu trả lời sẽ luôn là 6. Tôi sử dụng tính chất này để chứng minh phương trình trên trong bài viết khác của mình, nhưng ForceOfHabit đã đưa ra một điều thú vị điểm, điều này có giữ cho một bộ số vô hạn?

Trực giác rõ ràng có số nguyên dương gấp đôi số nguyên dương. Nhưng nếu chúng ta lấy chuỗi các số nguyên dương và nhân tất cả chúng với 2 thì chúng ta sẽ nhận được chuỗi các số nguyên dương. Nhưng nhân mỗi thành viên của chuỗi với 2 sẽ không làm thay đổi số lượng thành viên. Vì vậy, có chính xác số lượng số nguyên dương giống như số nguyên dương. Vậy đó là cái gì? Hai lần nhiều hay cùng một số? - thói quen của lực lượng

Và thành thật mà nói, tôi không biết câu trả lời cho điều này. Nhưng nó đã đạt đến đỉnh điểm sự quan tâm của tôi, vì vậy tôi quyết định nghiên cứu thêm một chút. Tôi đã đi xuống một lỗ sâu Wikipedia thông qua các nhánh khác nhau của toán học, tìm hiểu một số sự kiện thú vị trên đường đi, và kết thúc ở môn học. Cardinality liên quan đến các bộ và là cách bạn sẽ mô tả số lượng phần tử trong một bộ. Ví dụ: tập {1,2,3} có 3 phần tử hoặc số phần tử là 3.

Sử dụng cardinality, chúng ta có thể bắt đầu hiểu được các câu hỏi ở trên. Tôi đã nghiên cứu thêm một chút và tìm thấy một phần thú vị của cardinality gọi là Cardinal Số học, đó là các phép toán số học có thể được thực hiện trên các số chính quy chung cho các phép toán thông thường cho các số tự nhiên. Nói một cách dễ hiểu, chúng là một tập hợp hoạt động đặc biệt dành cho các số chính, mỗi số có định nghĩa riêng. Ví dụ: nếu bạn có hai bộ A và B với các số 3 và 4 tương ứng, thì chúng tôi biểu thị điều này là | A | = 3 và | B | = 4. Sau đó | A | + | B | = | A B |. Tất nhiên, điều này giống như chỉ thêm các giá trị số của | A | và | B |, thực tế là nó được định nghĩa theo cách này cho thấy cách có các phép toán số học có thể được tạo cho các tập cụ thể (cung cấp phép toán đáp ứng các tiêu chí nhất định).

Sử dụng số học hồng y, người ta đã chứng minh không chỉ số điểm trong một dòng số thực bằng với số điểm trong bất kỳ phân đoạn nào của dòng đó. Nghe có vẻ rất phản trực giác, nhưng sau đó một lần nữa, câu hỏi ở trên là lý do tại sao tôi muốn nghĩ rằng chúng giống nhau. Rõ ràng, đây không phải là một bằng chứng chính thức hay thậm chí là một bằng chứng hợp lệ, nhưng tôi sẽ khẳng định rằng nếu bạn xem xét chúng theo cùng một cách, thì câu trả lời cho câu hỏi của ForceOfHabit là tùy chọn b; cùng số nguyên.

Nhưng mặt khác, tôi có thể sai hoàn toàn, và đó là sự bối rối của vô cùng. Có rất nhiều điều không được biết về nó bởi vì nó chỉ là một khái niệm. Không có cách nào để đo lường sự vô hạn bởi vì theo định nghĩa, nó không thể đo lường được và bản thân nó là một khái niệm khó khăn để quấn lấy đầu bạn. Tôi nghĩ rằng giáo sư toán học năm thứ nhất của tôi đã tổng kết khá tốt: Tôi ghét ghét vô cùng. Đó không phải là một con số, nhưng chúng ta coi nó như một con số, nhưng chúng ta không nên. Đó là một khái niệm, không phải là một giá trị toán học, vì vậy nếu bất kỳ ai trong số bạn sử dụng nó như vậy, bạn cũng có thể bỏ khóa học!

Bây giờ cho số yêu thích của tôi trên toàn thế giới. Bạn hỏi ai đó con số yêu thích của họ là gì (sau khi hết nói về thời tiết), và họ có thể sẽ nói điều gì đó liên quan đến sinh nhật hoặc số may mắn mà họ tin tưởng. Nhưng hãy hỏi tôi, và tôi sẽ nói với bạn 0. Đó không phải là một con số may mắn, cũng không phải là sinh nhật hay kỷ niệm, nhưng đó là điều thú vị nhất đối với tôi.

Đối với người mới bắt đầu, nó có một giá trị, nhưng không có giá trị. Nếu bạn thêm nó vào một số khác, nó vẫn giữ nguyên. Trừ nó, giữ nguyên. Nhưng khi bạn nhân nó, bạn nhận được 0, bất kể bạn nhân nó với số nào.

1 x 0? 0.

123456789876543212345678987654321 x 0? 0.

Và khi bạn chia nó, bạn nhận được 0 bất kể mẫu số đó là gì (thanh 1 số, hãy theo dõi điều đó). 0/1234 vẫn là con số không

Nhưng khi bạn lặn bằng không, bạn sẽ nhận được một số thứ thực sự kỳ quặc. Tôi đang nói chuyện né tránh đạn trong cấp độ ma trận. Bất cứ ai đã tham gia một lớp đại số đều biết chúng ta không thể chia cho số 0, vì nó không được xác định. Chúng tôi phân loại nó là không xác định bởi vì nếu bạn đang cố chia 6 cho 0, thì tương tự như khi đặt câu hỏi. Số nào 0 lần bằng sáu? Chúng ta biết rằng không có số nào tồn tại để thỏa mãn điều đó, vì vậy phép chia cho số 0 không tuân theo các quy tắc phân chia thông thường. Do đó, chúng tôi bỏ qua nó. Nhưng, nếu chúng ta quên quy tắc đó trong một giây, chia cho số 0 có thể trở thành một công cụ rất gọn gàng để 'chứng minh' những điều hoàn toàn vô lý. Ví dụ:

Đặt a = b. Sau đó
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) # Bước xảy ra ở đây
2 = 1

Ở đó chúng tôi đi, tôi chỉ chứng minh rằng 2 = 1 và đã phá vỡ toán học! Lý do điều này hoạt động là vì bước huyền diệu, chia cả hai bên cho a² - ab, nhưng nếu bạn nhìn vào tuyên bố ban đầu, a = b, vì vậy a² = ab, nói cách khác a² - ab = 0. Đây là chia cho không, không xác định cho lý do chính xác này. Đó cũng là lý do tại sao các nhà toán học tránh nó như bệnh dịch hạch.

May mắn thay, nó thực sự là lựa chọn thứ ba. Tôi có thể xem qua khi nó ở dạng giới hạn, nó là một dạng không xác định, nhưng tôi nghĩ một người bạn nổi tiếng từ Apple mô tả nó tốt nhất:

Hãy tưởng tượng rằng bạn có 0 cookie và bạn chia đều cho 0 người bạn. Mỗi người nhận được bao nhiêu cái bánh quy? Hãy xem, nó không có ý nghĩa. Và Cookie Monster rất buồn vì không có cookie. Và bạn buồn vì bạn không có bạn bè. - Siri (thực sự, hãy thử hỏi Siri Những gì 0 chia cho 0?

Một câu hỏi phức tạp hơn liên quan đến số 0, 0 là gì? Theo định nghĩa, nếu bạn có sức mạnh của b, thì kết quả sẽ nhân với số nhân b của nó. Vậy nó phải bằng không phải không? Bởi vì bất kỳ số nào nhân với số 0 đều bằng không. Nhưng chúng ta cũng biết rằng a⁰ = 1 (với tất cả a ≠ 0), vậy có lẽ nó phải là 1? Hoặc nó không nên được xác định như chia cho 0? Điều này đã được tranh luận từ lâu trong toán học, và có những tranh luận cho cả hai bên về câu trả lời thực sự nên là gì. Có một trang web thú vị ở đây cung cấp các đối số cho cả hai bên, nhưng các trang web chính như sau: Trên 0⁰ nên không xác định được bên, chúng tôi có:

  1. Chúng ta biết a⁰ = 1 (với mọi a ≠ 0), nhưng a⁰ = 1 (với mọi a> 0). Mâu thuẫn này có nghĩa là 0⁰ không được xác định

Về phía 0⁰ = 1, chúng ta có:

  1. Để định lý nhị thức giữ cho x = 0, chúng ta cần 0⁰ = 1
  2. 0⁰ đại diện cho sản phẩm trống (số lượng bộ 0 phần tử có thể được chọn từ bộ 0 phần tử), theo định nghĩa là 1 (đây cũng là lý do tương tự tại sao mọi thứ khác được tăng lên với sức mạnh của 0 là 1).

Vì vậy, câu trả lời là gì? Vâng, chúng tôi vẫn chưa có câu trả lời cụ thể. Hầu hết mọi người sẽ đồng ý rằng đó là không xác định (vì x ^ y là hàm của hai biến không liên tục ở gốc). Nhưng cả hai bên đều có lý lẽ hợp lệ và cho đến khi ai đó có thể đưa ra bằng chứng cụ thể khẳng định yêu cầu này hay bên kia, thực sự không thể khẳng định nếu một trong hai là đúng.

Bây giờ bạn có thể tự hỏi điều gì xảy ra nếu bạn kết hợp cả hai. ∞ x 0 là gì? Thế còn? Vâng, vấn đề trở lại vô cùng, trong đó nó chỉ là một khái niệm. Không có cách nào để đo lường nó, bạn không thể có vô số gấu keo hoặc một lượng kem vô hạn (mặc dù tôi chắc chắn rằng tất cả chúng ta đều ước mình có thể).

Hầu hết thời gian, câu trả lời là không xác định. Đây là tất cả các ví dụ về các câu hỏi không có câu trả lời, bởi vì chúng tôi không thể đưa ra một giá trị có ý nghĩa cho một khái niệm như vô cùng. Tất nhiên, có một ngoại lệ kỳ lạ, như 0 ^, có giá trị sắp xếp bằng 0. Nếu bạn lấy giới hạn 0 ^ n vì n có xu hướng vô cùng, nó bằng không. Nhưng đó là những trường hợp hiếm gặp, và thậm chí sau đó 0 ^ về mặt kỹ thuật vẫn không bằng 0, nó chỉ rất gần với nó.

Vì vậy, bạn thấy, vô cùng là một điều rất thú vị bởi vì nó rất hữu hình và rất trừu tượng cùng một lúc. Bạn thấy nó mọi lúc trong sách giáo khoa và phương trình toán học, nhưng chúng ta vẫn chưa có một định nghĩa hay giá trị cụ thể cho những gì nó là.

Zero chỉ tuyệt vời bởi vì nó là thứ của riêng nó. Đôi khi, nó thích chơi theo luật, đôi khi nó làm theo ý mình, và đôi khi nó tự khóa trong phòng và từ chối hợp tác với bất kỳ ai.

Cả hai đều có những phẩm chất chuộc lỗi riêng, rất hữu ích trong lĩnh vực toán học. Họ cũng có những điều kỳ quặc riêng, đôi khi có thể hữu ích và gây đau đớn cho người khác. Nhưng trong khi đó chỉ là một trong những sự thật của cuộc sống, thì đó là sự bối rối của vô cực và không.